Also - ich denke, du hast einen Liguster. Wir verifizieren das noch mit den Bildern. Aber die Beschreibung passt schon mal ganz gut.
Zu kalt wird es ihm nicht gewesen sein. Liguster gibt es in Klimazonen, wo es durchaus auch eine kühlere Zeit gibt. Bloss Frost mögen sie nicht. Ich frage aber jetzt schon, ob du einen Raum hast, der zwischen 6 und 12 bis maximal 16 Grad hat und dazu noch ein Fenster. Dort wäre es dem Liguster im Winter nämlich am liebsten.
Der schlappe Eindruck wäre auch typisch für Liguster. Sie brauchen recht viel Wasser und ihre Wurzeln wachsen schnell. Allerdings erholen sie sich auch schnell, wenn die Blätter mal etwas runterhängen. Jedenfalls wirst du ihn kaum ersäufen.